OBRTNA TIJELA

         Obrtno tijelo je geometrijsko tijelo nastalo obrtanjem povrsi proizvoljne ravne figure.

         Obrtno tijelo nastalo rotacijom pravougaonika oko ose koja sadrzi jednu njegovu stranicu naziva se pravi valjak(sl.1).Prava kupa(sl.2) jeste obrtni tijelo koje nastaje rotacijom pravouglog trougla oko ose koja sadrzi jednu njegovu katetu.Rotacijom jednakokrakog trapeza oko njegove ose simetrije mize se dobiti zarubljena kupa(sl.3).Obrtanjem kruga oko ose koja sadrzi njegov precnik dobija se lopta(sl.4).

 valjak.jpg (12116 bytes) kupa.jpg (23060 bytes) zarubljena kupa.jpg (13189 bytes) lopta.jpg (4959 bytes)
                   sl.1                   sl.2                            sl.3                    sl.4

 

 

PRAVA KUPA

         Prava kupa nastaje obrtanjem pravouglog trougla oko ose koja sadrzi jednu njegovu katetu. image88.jpg (14321 bytes)

        Povrsina kupe sastoi se iz povrsine osnove(O) i omotaca(M).Osnova svake kupe jeste krug,dok omotac kupe razvijen u ravni predstavlja kruzni isjecak poluprecnika s(s ovdje predstavlja duzinu izvodnice).

kupa u stanju odmotavanja.jpg (15323 bytes) p kupe.jpg (24773 bytes)

 

 

 

 

POVRSINA PRAVE KUPE

image91.gif (2025 bytes)

s-ovdje predstavlja izvodnicu kupe,r-poluprecnik osnove(kruga),l-predstavlja duzinu luka kruznog isjecka

 

 

 

 

 

 

 

 

ZAPREMINA KUPE

image92.gif (1254 bytes)

gdje H predstavlja visinu kupe

*ova formula se takodje koristi za izracunavanje zapremine kose kupe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZARUBLJENA KUPA

Zarubljena kupa nastaje rotacijom jednakokrakog trapeza oko njegove ose simetrije ili presijecanjem prave kupe ravni paralelnoj osnovi kupe. image93.jpg (22235 bytes)
image94.jpg (21132 bytes) r i r" predstavljaju poluprecnike osnova

x-visina dodatne kupe

H-visina zarubljene kupe

s-izvodnica zarubljene kupe

 

Iz slicnosti kupa slijedi relacija

image95.gif (1244 bytes)

 

 

 

ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE

image97.gif (3369 bytes)

 

 

 

 

 

 

 

POVRSINA ZARUBLJENE KUPE

                Povrsina zarubljene kupe se sastoji od dvije baze i omotaca.

z kupa.jpg (15321 bytes) image99.jpg (27494 bytes)

Na osnovu ove relacije,koja proizilazi iz slicnosti trouglova                                                        

                                    image100.gif (1210 bytes)

lako se moze izracunati omotac zarubljene kupe

image101.gif (2105 bytes)

Povrsinu baza je jednostavno izracunati

image102.gif (962 bytes) image103.gif (992 bytes)

            Na osnovu ovoga jednostavno se moze izracunati povrsina zarubljene kupe.

image104.gif (1714 bytes)