Zapremina prizme

 

Teorema :Zapremine dva pravougla parolelopipeda podudarnih osnova su u razmeri njihovih visina. Uzmimo, npr. da su im visine samerljive i da imaju neku zajednicku meru m, koja se sadrzi k1 puta u visini h1, a k2 puta u visini h2, tj. da je h1 : h2 = k1 :k2. Ako podelimo obe visine na delove jednake duzi m, pa kroz deone ta~ke postavimo ravni paralelne osnovama, dobijemo u prvom pravouglom paralelopipedu k1 manjih podudarnih pravouglih paralelopipeda, a u drugom k2 takvih istih podudarnih pravouglih paralelopipeda. Svi ovi sastavni pravougli paralelopipedi su podudarni, jer je jasno da se mogu dovesti do poklapanja. Na osnovu prve osobine zapremine tela, tj. da podudarnim poliedrima odgovaraju jednake zapremine, svi oni imaju jednake zapremine, npr. v. Ako sa v1 i v2 oznacimo nepoznate zapremine dva prvobitno data pravougla paralelopipeda, to ce na osnovu druge osobine zapremine tela, odnosno da je zapremina poliedra:

                                

sastavljenog od vise drugih poliedara jednaka zbiru zapremina tih poliedara, biti i , pa i :

                            
sto je trebalo dokazati. Uz to treba istaci, da se u pravouglom paralelopipedu svaka dimenzija moze smatrati visinom, jer to zavisi samo od toga kako dati pravougli paralelopiped lezi prema nama.

Teorema:Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije.

Da bismo to dokazali uporedicemo tri narocita pravougla paralelopipeda, cije cemo zapremine obeleziti sa v, v1 i v2 i kocku zapremine K ako su im dimenzije :

          V=a,b,c,                V1= a, b, 1,
          V2=a,1,1,      K= 1, 1, 1,
Iz predhodne teoreme izvodimo da je tada :
                                                                                                
Mnozenjem ovih jednacina dobijamo: 

                          

To znaci da je zapremina V pravouglog paralelopipeda koji ima dimenzije a, b, c proporcionalna proizvodu tih dimenzija. Medjutim, faktor proporcionalnosti K koji se pritom pojavljuje pretpostavlja zapreminu kocke cija je ivica jedinicne duzine i na osnovu trece osobine o zapremini tela, tj. da je zapremina kocke cija je ivica jednaka jedinici duzine jedinicna zapremina, tj. da njoj odgovara broj jedan, sledi da je K=1. Dakle, zapremina pravouglog paralelopipeda bice:

                                

Formula za izracunavanje zapremine pravouglog paralelopipeda moze se i ovako procitati :Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu povr{ine osnove i visine .
Kako je kocka pravougli paralelopiped jednakih dimenzija, ako je njena ivica a, njena zapremina bice :

                         

Teorema:Zapremina pravog paralelopipeda jednaka je proizvodu povrsine osnova i visine.

Uocimo prav paralelopiped kome osnova ABCD nije pravougaonik. Ako iz temena npr. C i D kosouglog paralelograma ABCD spustimo normale CQ i DP na naspramnu njegovu stranicu, dobicemo u osnovi pravougaonik PQCD, cija je povrsina jednaka povrsini datog paralelograma. Tada su trostrane prizme APDKLR i BQCNMS podudarne, jer je ocigledno da se mogu dovesti do poklapanja posto zadovoljavaju sve uslove za podudarnost poliedara ( imaju jednake osnove ). Oduyimanjem prizme APDKLR od datog paralelograma i dodavanjem podudarne prizme BQCNMS dobiva se pravougli paralelopiped iste zapremine sa datim paralelopipedom. Kako oba imaju jednake visine i jednake povrsine osnova, teorema je dokazana.

Teorema :Zapremina kosog paralelopipeda jednaka je proizvodu povrsine osnove i visine.

Posmatrajmo nas paralelopiped ABCDKLMN. Iz njegovih temena K, L, M, N spustimo normale na donju osnovu. Na taj nacin se dobiva prav paralelopiped A`B`C`D`KLMN iste visine, cija osnova A`B`C`D` ima istu povrsinu kao i osnova datog paralelopipeda. Ovako konstruisan paralelopiped ima, medjutim, zapreminu jednaku datom paralelopipedu- isto se uostalom vidi i iz podudarnosti tela DCC`D`KN i ABB`A`LM odnosno tela AA`D`DKL i BB`C`CNM. Iz ovoga sledi da kako je zapremina pravog paralelopipeda jednaka proizvodu povrsine osnove i visine, isto vazi i za kosi paralelopiped.

Teorema :Zapremina prave trostrane prizme jednaka je proizvodu povrsine osnove i visine.

Prava trostrana prizma ABCC`A`B` moze se npr. postavljanjem ravni kroz ivice BB` i CC`, koje su paralelne stranama ACC`A` i ABB`A` date prizme, dopuniti do pravog paralelopipeda iste visine ali dvaput vece osnove. Ovim dopunjavanjem dobija se trostrana prizma BCDD`C`B` jednaka datoj, pa ce zapremina date prizme biti jednaka polovini zapremine pravog paralelopipeda, kojeg obrazuju dve navedene prave trostrane prizme.

Teorema :Zapremina kose trostrane prizme jednaka je proizvodu povrsine osnove i visine.

I ovakva prizma se moze dopuniti do paralelopipeda, istina kosog ali iste visine i dvaput vece osnove. Kako je zapremina ovog paralelopipeda jednaka proizvodu njegove osnove i visine a cine ga dve jednake trostrane prizme, to dolazimo do zakljucka da je i ovo tvrdjenje tacno. Posle ovih primera, ako se jos uzme u obzir da se proizvoljna prizma moze uvek dijagonalnim ravnima kroz jednu bocnu ivicu podeliti na trostrane prizme, sledi :

Teorema :Zapremina ma koje prizme jednaka je proizvodu povrsine njene osnove i visine tj.

 

Predhodna teorema moze se dokazati i pomocu Kavalierijevog principa koji glasi :

" Ako se dva tela mogu dovesti u takav polozaj, da ih svaka ravan, koja ih sece, a paralelna je datoj ravni, sece po presecima jednakih povrsina, onda ta dva tela imaju jednake zapremine ".

 

    • Neka je B povrsina osnove prizme ABCDE A`B`C`D`E`i H visina te prizme. Posmatramo istovremeno pravougli paralelopiped visine C=H, cija osnova ima povrsinu ab=B. Osim toga, neka osnova prizme i paralelopipeda leze u ravnima µ i b . Presecimo prizmu i paralelopiped sa proizvoljnom ravni g ( g II a II b ). Preseci su mnogouglovi A``B``C``D``E`` @ ABCDE i M``N``P``Q`` @ MNPQ, a povrsine osnova su jednake, tj. BABCDE=BMNPQ ( dato ), to su i povrsine preseka sa ravni g jednake, tj. BA``B``C``D``E``=BM``N``P``Q``. Dakle preseci prizme i pravouglog paralelopipeda bilo kojom ravni g koja je paralelna ravni osnova, imaju jednake povrsine. Na osnovu Kavalijerijevog principa ta dva tela imaju jednake zapremine tj. Vprizme=Vparalelopipeda . Kako je zapremina paralelopipeda jednaka odnosno ,

tako je i zapremina prizme jednaka : V=BH.