CILINDRIČNA POVRŠ I VALJAK

Neka je l proizvoljna linija ravni α i neka je p prava koja prodire tu ravan. Skup tačaka svih pravih koje sijeku liniju l a paralelne su sa pravom p naziva se cilindrična površ (sl. 1). Linija l je vodilja (direktrisa), a prave koje sijeku l i paralelne su sa p su izvodnice (generatrise) cilindrične površi.
Dio prostora ograničen kružnom cilindrićnom površi i dvjema podudarnim kružnim površima naziva se valjak (sl. 2). Kružne površi su osnove valjka, a dio cilindrične površi između osnova je omotač valjka.
Izvodnice cilindrične površi koje pripadaju omotaču valjka zovu se izvodnice valjka. One su paralelne i jednake. Rastojanje između osnova naziva se visina valjka. Ako je osa valjka normalna na ravni osnova, valjak je prav (sl. 3), inače je kos.

sl.1       sl.  2

sl. 3                                                     ↑

POVRŠINA

Valjak se sastoji iz dvije kružne baze i pravougaonog omotača. Poluprečnik baza je r, a stranice pravougaonika u omotaču su H (visina) i 2rπ (obim baze).

Površina baze je B=πr² .
Površina omotača je M = 2rπH.
Kako valjak sadrži dvije baze i omotač, njegova površina će biti P = 2*B + M, tj.:
P = 2 πr²  + 2πrH ili P = 2πr(r+H).                                                            ↑

ZAPREMINA

Neka je Σ prav valjak visine H, čije osnove imaju površinu B. Dakle, ako je r poluprečnik kruga koji čini osnovu valjka Σ, tada je B= π r² .
Neka je P pravougaonik u ravni α donje osnove valjka, čija je površina takođe B (recimo da je jedna stranica pravougaonika je r, a druga πr). Konstruišimo kvadar K sa osnovom P i visinom H.

Tada bilo koja ravan β paralelna ravni α koja siječe kvadar K siječe i valjak Σ i ti presjeci imaju jednake površine. Na osnovu Kavalijerijevog principa zaključujemo da je V(K) = V(Σ). Međutim, kao što znamo, V(K) = BH, pa je V(Σ) = BH, tj.:
V(Σ) = π r²H.                                                                                            ↑

PRIMJERI

1. Od kvadrata stranice a načinjen je omotač kružnog valjka. Izračunati zapreminu valjka u funkciji od a.     Valjak 1.pdf

2. Površina kružnog valjka je 180π cm²  , a razlika visine i poluprečnika osnove je 3 cm. Izračunati zapreminu valjka.       Valjak 2.pdf                                                                                          ↑