ОСНОВНЕ ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФОРМУЛЕ

ОСНОВНЕ ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФОРМУЛЕ:

Функције једног угла

$\sin ^2 + \cos ^2 = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$ ,

$\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$ ,

$\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

Међусобно изражавање функција

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},$

$\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},$

$\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.$

Функције збира и разлике

$\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.$

$\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},$

Функције вишекратног угла

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},$

$\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},$

$\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.$

За веће n прикладнија је Моаврова формула за комплексан број, развијена у биномни ред:

$\cos n \alpha +i \sin n \alpha = (\cos\alpha+ i \sin\alpha )^n = \,$

$\cos^n\alpha+in \cos^{n-1}\alpha \sin\alpha - C_n^2 \cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha - -iC_n^3 \cos^{n-3}\alpha \sin^3\alpha + C_n^4 \cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha + ...,$

где је $C_n^k = C(n, k) ={n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ биномни коефицијент.
Отуда је:

$\cos n \alpha = \cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha - C_n^6\cos^{n-6}\alpha \sin^6\alpha + ...,$

$\sin n \alpha = n \cos ^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos ^{n-3} \alpha \sin ^3\alpha +C_n^5 \cos ^{n-5} \alpha \sin ^5 \alpha - ....$

Збир и разлика функција

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},$

$\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.$

Производ функција

$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],$

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],$

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].$

Функције половине угла

$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos\alpha}}{2}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},$

$\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha},$

$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.$

Степеновање функција

$\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),$

$\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha),$

$\sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).$

За рачунање $\sin^n\alpha\,$ и $\cos^n\alpha\,$ при већем n можете поћи од Моаврове формуле.