Основни односи

Уведимо ознаку f(\pm)=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}), где "+", односно "-" иду у пару. Тада је:

\arcsin x+\arcsin y=f(+), \quad [xy\le 0 \vee x^2+y^2\le 1]
=\pi-f(+), \quad [x>0, y>0, x^2+y^2>1]
=-\pi-f(+), \quad [x<0, y<0, x^2+y^2>1],
\arcsin x-\arcsin y=f(-), \quad [xy \ge 0 \vee x^2+y^2 \le 1]
=\pi-f(-), \quad [x>0,y<0, x^2+y^2 >1] \,
=-\pi-f(-), \quad [x<0, y>0, x^2+y^2>1].

Означимо са g(\pm)=\arccos(xy\pm\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}), где "+", односно "-" иду у пару. Тада је:

\arccos x+\arccos y=g(-), \quad [x+y\ge 0]
=2\pi-g(-), \quad [x+y<0],
\arccos x-\arccos y=-g(+), \quad [x \ge y]
=g(+), \quad [x<y].

Уведимо ознаке h(\pm)=\arctan\frac{x\pm y}{1\mp xy}, где горњи знак "+" или "-" иде са горњима. Тада важи:

\arctan x+\arctan y=h(+), \quad [xy<1]
=\pi+h(+), \quad [x>0, xy>1]
=-\pi+h(+), \quad [x<0, xy>1],
\arctan x-\arctan y=h(-), \quad [xy>-1]
=\pi+h(-), \quad [x>0, xy<-1]
=-\pi+h(-), \quad [x<0, xy<-1].

Уведимо ознаку u=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}). Важе следеће једнакости:

2\arcsin x=u, \quad \left[ |x| \le \frac{1}{\sqrt{2}} \right]
=\pi-u, \quad \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}<x \le 1 \right]
=-\pi-u, \quad \left[ -1 \le x < -\frac{1}{\sqrt{2}} \right].
2\arccos x=\arccos(2x^2-1), \quad [0 \le x \le 1]
=2\pi-\arccos(2x^2-1), \quad [-1 \le x <0].

Уводимо смену t=\arctan\frac{2x}{1-x^2}, па важе једнакости:

2\arctan x=t, \quad [ |x|<1 ]
=\pi +t, \quad [x>1]
=-\pi+t, \quad [x<-1].

Коначно, \cos(n\arccos x)=2^{n-1}T_n(x),\; (n \ge 1),

при чему n \, не мора бити цео број; T_n(x) \, се одређује једначином:

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2^n}.

Ако је n \, цео број, T_n(x) \, је полином од х (полином Чебишева).