abc Matlab - elektronski priručnik
III dio Matematika u Matlabu - 3.1. Linearna algebra

3.1.1. Matrice u Matlab okruženju
3.1.1.3. Vektorski proizvodi i transponovanje

Vektor-red i vektor-kolona iste dužine mogu se pomnožiti u bilo kom redoslijedu. Rezultat je ili skalar, unutrašnji proizvod, ili matrica, vanjski proizvod:

u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];

x = v*u

x =
2

X = u*v
X =
6          0          -3
2          0          -1
8          0          -4

Za realne matrice, operacija transponovanja zamjenjuje aij i aji. Matlab koristi apostrof operator (') da izvrši konjugovano kompleksno transponovanje, a tačka-apostrof operator (.') da da transponuje bez konjugacije. Za matrice koje sadrže sve realne elemente, ova dva operatora vraćaju isti rezultat.

Matrica iz našeg primjera A je simetrična, pa je A' jednako A. Ali, B nije simetrična:

B = magic(3);
X = B'

X =
8          3          4
1          5          9
6          7          2

Transponovanje pretvara vektor-red u vektor-kolonu:

x = v'
x =
2
0
-1

Ako su x i y oba realni vektori-kolone, proizvod x*y nije definisan, ali dva proizvoda

x'*y

i

y'*x

su isti skalar. Ova operacija se tako često koristi, da ima tri različita imena: unutrašnji proizvod, skalarni proizvod, ili tačkasti proizvod.

Za kompleksni vektor ili matricu, z, veličina z' ne samo da transponuje vektor ili matricu, nego takođe konvertuje svaki kompleksni element u konjugovano kompleksni. To jest, znak imaginarnog dijela svakog kompleksnog elementa se mijenja. To znači ako je

z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]
z =
1.0000 + 2.0000i    7.0000 - 3.0000i    3.0000 + 4.0000i
6.0000 - 2.0000i     0          + 9.0000i   4.0000 + 7.0000i

tada je

z'
ans =
1.0000 - 2.0000i     6.0000 + 2.0000i
7.0000 + 3.0000i              0 - 9.0000i
3.0000 - 4.0000i      4.0000 - 7.0000i

Nekonjugovano kompleksno transponovanje, gdje kompleksni dio svakog elementa zadržava svoj znak, je označeno sa z.':

z.'
ans =
1.0000 + 2.0000i      6.0000 - 2.0000i
7.0000 - 3.0000i              0 + 9.0000i
3.0000 + 4.0000i     4.0000 + 7.0000i

Za kompleksne vektore, dva skalarna proizvoda x'*y i y'*x su konjugovano kompleksni jedan drugom, a skalarni proizvod x'*x kompleksnog vektora sa samim sobom je realan.

Matrice u Matlab okruženju - Sabiranje i oduzimanje matrica    <    Index    >    Matrice u Matlab okruženju - Množenje matrica