abc Matlab - elektronski priručnik
III dio Matematika u Matlabu - 3.1. Linearna algebra
3.1.4. Faktorizacije
3.1.4.2. Cholesky Faktorizacija
Cholesky faktorizacija izražava simetričnu matricu kao proizvod trijangularne matrice i njene transponovane
A = R'R,
gdje je R gornja trijangularna matrica.
Ne mogu se sve simetrične matrice faktorizovati na ovaj način; za matrice koje imaju takvu faktorizaciju se kaže da su pozitivno definitne. To implicira da su svi dijagonalni elementi od A pozitivni i da izvandijagonalni elementi “nisu suviše veliki.” Pascalove matrice nam daju zanimljiv primjer. U ovom poglavlju, primjer matrice A je bila 3-sa-3 Pascalova matrica. Privremeno ćemo preći na 6-sa-6:
A = pascal(6)
A =
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 1 5 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252
Elementi od A su binomni koeficijenti. Svaki element je suma svog sjevernog i zapadnog susjeda. Cholesky faktorizacija je
R = chol(A)
R =
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
0 0 1 3 6 10
0 0 0 1 4 10
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 1
Elementi su opet binomni koeficijenti. Činjenica da je R'*R jednako A demonstrira identitet koji uključuje sume proizvoda binomnih koeficijenata.
Napomena: Cholesky faktorizacija se takođe primjenjuje na kompleksne matrice. Bilo koja kompleksna matrica koja ima Cholesky faktorizaciju i zadovoljava A′= A naziva se Hermitska pozitivno definitna.
Cholesky faktorizacija dozvoljava da se linearni sistem
Ax = b
zamijeni sa
R'Rx = b.
Zato što backslash operator prepoznaje trijangularne sisteme, ovo se brzo može riješiti u Matlab okruženju sa
x = R\(R'\b)
Faktorizacije - Uvod < Index > Faktorizacije - LU faktorizacija
 |
 |
 |
 |
 |
 |
