簡諧運動 與 等速率圓周運動 的關係
當彈簧的受力 正比於 彈簧長度的變化量時， 彈簧會形成 簡諧運動。
(Simple Harmonic Motion -SHM) 更複雜的問題請參考 彈簧與力
本 Java 動畫 希望你能 藉由 動畫的觀察中 看出
簡諧運動 與 等速率圓周運動 之間 的關係。
按 Start 啟動動畫。 圓周上的黑點會以 等角速率繞著圓心運動。
注意看 振幅 的波形 與 正弦函數 的關係。
按 滑鼠 右鍵 能暫停動畫，再按一次 則會 繼續。
你看出動畫中的頻率（每秒繞的圈數）是多少嗎？
紅色箭頭 表示 黑點運動的速度，
黃色箭頭 與 藍色箭頭 則分別代表 速度 在 X 及 Y 方向的分量（投影）。
另外 紅色/黃色 線段 分別標出 X/Y方向上的位移。
注意觀察 線段與 箭頭 長度之間 有沒有什麼關係？（從幾何上觀察）
什麼時候質點的速度最大？什麼時候質點的速度最小？與位移間有何關係？
圖中有一暗灰色區域，按滑鼠右鍵後 左右移動 可以讓圓板繞垂直軸轉動。
用以模擬側面觀看 圓周運動 （圖片）。
轉至寬度為零時，只能見垂直方向的運動。
初學物理 的學生或許 都會有這樣的問題：
為何 物理學 一直在談 彈簧與單擺等 簡諧運動。
簡諧運動有什麼重要呢？還是 因為他們 簡單且數學上有完整的解。
首先談談 什麼是 簡諧運動：
考慮 物體不受力 處於 某個平衡位置。
當物體受到 外界影響，使物體離開平衡位置時，
凡是 物體所受的作用力 與 物體的位移 成正比，
且作用力方向與位移方向相反時，
簡單的說 作用力 F = - k X ( X 為物體的位移）。
則 物體的運動會是 簡諧運動。
數學上 我們可以完整的解出 簡諧運動 的 運動方程式 (改寫如下)
F = m a = m d2X/dt2 = - k X
d2X/dt2 = - (k/m) X = - ω2 X ， ω2 = k/m
其解可以 是 X = Xo sin (ωt +φ)，其中 φ 為 一角度（相角）。
| Xo | 為物體最大位移（彈簧最大 壓縮/伸張 量）
以彈簧而言： k 為 彈性係數。ω 的數值由 彈性係數 k 與 質量 m 決定。
Xo 與 φ 則由 彈簧的初始條件決定。（例如：t = 0 時 的位移 與速度）
由於速度 V 是 位移隨時間的變化率
V = Xo ω cos (ωt +φ)
物體在 外力作用下 儲存的位能 U = -∫ F • d X = -∫ -kX • d X = (1/2) k X2
物體的動能 K = (1/2) m V2
物體的總機械能 E = U + K = (1/2) k X2 + (1/2) m V2
= (1/2) k X2o sin2(ωt +φ) + (1/2) mω2 X2o cos2 (ωt +φ)
= (1/2) k X2o ( ∵ k = mω2 且 sin2θ+ cos2θ= 1 )
若是你想要討論實際彈簧又受到 阻力 或 強迫振盪 的情形，請參考 彈簧與力
物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X2 ，動能為 (1/2) m V2
物體的總機械能 E = (1/2) k X2 + (1/2) m V2 = 常數
因此 若將上式 微分 則
dE/dt =0. ， dK/dt = k X dX/dt = k X V， dU/dt = m V dV/dt = m V a
則 0 = k X V + m V a
∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式
加以推廣：我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X2 時 (a>0) 便會是 簡諧運動。
讓我介紹 一下 最厲害的數學式：泰勒展開式
對任一 x 為參數的函數 f(x) 可以表示為
f(x) = f(xo) + (1/1!) f'(xo) (x-xo) + (1/2!) f''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) f'''(xo) (x-xo)3 + ...（高次項）
上式中 f', f'', f''' 等為 f 函數的一次，二次與三次微分。
上面這個式子 初看之下，好像也沒有什麼特殊。但是只細想一想。
上面的式子 說：
只要我知道 一個函數 f 在 xo 點的函數值，一次微分的函數值，二次微分的函數值，
三次微分的函數值...（無窮多項） 等 ，（ xo 是 任意的一點）
我可以得到 這個函數在 宇宙 任一角落處 得函數值。（ x 也是 任意的一點）
而且 這個函數 可以是 任何函數，例如：密度，溫度，壓力 ... 等。
也就是說 如果我知道 空間中某處（實驗室）的溫度，溫度隨空間的一次微分，
溫度隨空間的二次微分，溫度隨空間的三次微分 ... （在同一點的值）
則我可以知道 遠在太陽系外某一點的溫度。（真厲害！）
只是 唯一的缺點是（也是不可能辦到的）必須知道 溫度隨空間的任意次微分的值。
但是 可以辦得到的是 溫度隨空間的最初幾次微分的數值。
則 利用上式（泰勒展開式）時，只要 x 離開 xo 不很遠 則仍然可以使用。
（當 x-xo 較小時，高階項可以忽略）
我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上，則 位能
U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
當物體處於平衡位置 xo（不受力）時，
U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.
F= - dU/dx 式的意思：( 力 是 位能隨空間的變化量）
可由 U = -∫ F • d X 反推（微分）
因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選，設其為零。
則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
若取 x 離平衡位置不遠，則 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2
也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時，其位能皆為 位移平方的形式。
任何的物體 在穩定平衡點 (U''(xo)>0) 上，受到擾動做微小位移時
其運動 都會是 簡諧運動。
樹葉受風輕吹時，車子碰到小石塊時，橋樑受大貨車壓過時，...
自然界的物體到處可見 簡諧運動的出現。
你說 簡諧運動 重不重要呢？
歡迎批評指教！電子郵件 ： 請按 hwang@phy03.phy.ntnu.edu.tw
作者：國立台灣師範大學 物理系 黃福坤
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