abc Matlab - elektronski priručnik
III dio Matematika u Matlabu - 3.3. Interpolacija i ekstrapolacija

3.3.2. Kvadratna interpolacija i ekstrapolacija

Kvadratna interpolacija i ekstrapolacija su mnogo tačnije od linearne zato što kvadratni polinom ax2 + bx+ c može mnogo lakše da se uklopi (fituje) u zakrivljene funkcije nego linearni polinom ax+ b.

Slika 2. Kvadratna interpolacija bolje slijedi krivine ako zakrivljenost ne mijenja znak.

Razmotrimo Sliku 2. Ona pokazuje dva kvadratna fitovanja zakrivljene funkcije. Ono koje je označeno sa „a“ koristi samo tačke x= 0, 1, 2 i nije naročito tačno pošto su te tačke suviše međusobno udaljene. Ali aproksimacija koja koristi  x = 0,0.5, 1, označena sa „b“, je zaista veoma dobra, mnogo bolja nego dvo-segmentno linearno fitovanje koje koristi iste tri tačke.
Nažalost, formule za kvadratno fitovanje su mnogo teže za izvođenje. (Lagranževe interpolacione formule koje se mogu naći u knjigama elementarne numeričke analize služe za ta izvođenja). Ali za jednako razmaknute podatke na x, Tejlorova teorema zajedno sa aproksimacijama prvog i drugog izvoda, olakšava izvođenje i upotrebu kvadratne interpolacije i ekstrapolacije. Ova tehnika se široko primjenjuje u numeričkoj analizi.
Po Tejlorovoj teoremi aproksimacija funkcije f(x) u okolini tačke x= a je data sa

         (3)

Upotrijebićemo ovu aproksimaciju (ignorišući sve članove poslije kvadratnog člana za (x−a)) u blizini tačke  (xn,fn)  u nizu jednako razmaknutih vrijednosti x. Razmak na x označimo sa h.
Aproksimacija po Tejlorovoj teoremi koja koristi numeričke izvode u ovom nizu je tada data sa

     (4)

Ova formula je vrlo korisna za dobijanje onih vrijednosti funkcije koje nisu u nizu. Napr. ova formula se može lako upotrijebiti za nalaženje interpolacione aproksimacije za f(xn+ h/2)

     (5)

a takođe i za nalaženje kvadratnog ekstrapolacionog pravila.

     (6)

Linearna interpolacija i ekstrapolacija    <    Index    >    Interpolacija sa polyfit i polyval